1. ГЕОМЕТРИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ <ФранцГерман>.
Размышления о том, как вместе рождались физический мир и геометрия, и как одно связано с другим. Особая роль отводится исходной проективной геометрии.
2. ТЕОРЕМА О ПОЛЯРЕ ТРЁХВЕРШИННИКА <T-Polar>.
Будучи студентом, автор открыл и доказал теорему, которая очень проста для тех, кто знаком с азами проективной геометрии.
3. ТЕОРИЯ КОНКУРЕНТНЫХ ПРЯМЫХ ПАСКАЛЯ (реферат диссертации) <Pascal>.
Научному руководителю автора — алгебраисту, профессору Красноярского государственного педагогического института Б.В. Яковлеву (покойному) — понравилось, что геометрический вопрос решён алгебраическими способами. Наверное, ранее мало кто в проективной геометрии применял совместно методы и теории множеств, и теории алгебраических подстановок, и теории графов.
4. ТЕОРИЯ КООРДИНАТНО-ДВОЙСТВЕННЫХ (КД) КОНФИГУРАЦИЙ <KD-prinzip>.
Эта работа как бы разворачивает предысторию проективной геометрии. После введения бесконечно удалённых точек и прямых надо было бы говорить о принципе двойственности и его конфигурациях. Но существующие учебники начинают повествовать с теоремы Дезарга, которая есть лишь рядовая закономерность теории КД-конфигураций.
5. ТЕОРЕМЫ ПРОЕКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ <Projektiv>.
В этой работе доказываются теоремы, которые ещё не встречались в традиционных учебниках по проективной геометрии, — в них рассмотрены конфигурации, строящиеся с использованием не одного, а двух центров перспективы. В результате некоторые известные вещи, например теорема Паскаля, становятся просто их частными случаями. .
6. ПОВЕРХНОСТЬ МЁБИУСА (аналитическая теория) <Möbiusfläche>.
В данной статье рассказывается о поверхности, которую автор назвал «поверхностью Мёбиуса». Именно частью этой поверхности и является всем известный лист Мёбиуса, который каждый из нас может склеить из прямоугольной полоски бумаги.
7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАСАТЕЛЬНЫХ СФЕР <Kurve>.
В данной работе рассматривается альтернативная теория кривых второго порядка. В классических учебниках по аналитической геометрии переход от теории кривых к теории поверхностей второго порядка всегда даётся аналитическим, искусственным образом. В альтернативной теории касательных сфер такой переход осуществляется естественным образом – просто понятие окружности заменяется понятием сферы. Кроме того, эта теория может быть интересной физикам и астрономам. Сферические фронты гравитационных взаимодействий могут напрямую оказаться причастными к теории касательных сфер. И кроме всего этого методы поточечного построения орбит космических тел также могут быть полезны для современной астрономии.
8. ТЕОРИЯ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ <Vektor>.
Используя инварианты некоторых геометрических преобразований, был найден способ представления преобразований и их композиций в виде векторных функций. Благодаря чему была разработана алгебра этих функций и заложено целое новое направления в теории геометрических преобразований.
9. ТЕОРИЯ ЦИКЛИЧЕСКОГО ИЗОМОРФИЗМА <Iso>.
«Теорию циклического изоморфизма» можно рассматривать как одну из абстрактных теорий в общей структуре глобальной теории групп. Решение системы уравнений простейшего циклического изоморфизма проливает свет на фундаментальное (основополагающее) понятие матриц Клиффорда—Паули, которое до сегодняшнего дня не имело математической основы.
.
10. ГРУППЫ СИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ <K_Grupp>.
В работе показана возможность построения групп конфигураций и приведены простейшие примеры таких групп. Где могут быть использованы такие группы? — это будут решать будущие Галуа.
.
11. ТЕОРИЯ УПАКОВОК КЛЕТОЧНЫХ ПОЛЕЙ <upakovki>.
Понятие упаковки, которое используется в данной работе, связано с понятием замкнутого клеточного поля. Клетки поля заполняются числами (или цифрами) по специальному алгоритму. В данной работе рассматриваются упаковки только конечного порядка. Как выяснилось, существуют алгоритмы, заполнения упаковок, для которых порядок упаковки является простым числом. Причина этого пока не ясна. Такие упаковки обладают многими интересными свойствами. Хочется верить, что данные упаковки смогут пролить свет на некоторые тайны из «жизни» простых чисел.
.
12. КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ МОЗАИКА ПЛОСКОСТИ <R_Mosaik>.
Свойство фрактальности данных мозаик позволяет накрыть узором практически любую по величине площадь плоскости. Главным ограничением здесь выступает порядок этой фрактальности.
Гипотезу, сформулированную в данной работе, предстоит ещё доказать. Интересно и то, будет ли когда-нибудь открыта подобная мозаика в природе?
.
13. К ВОПРОСУ О НЕПЕРИОДИЧЕСКОМ ЗАМОЩЕНИИ ПЛОСКОСТИ <Mosaik>.
Всё началось с американского логика китайского происхождения Хао Вана и его ученика Р. Бергера в 60-х годах прошлого века. Была поставлена задача, сколько потребуется плиток, чтобы замостить плоскость непериодической мозаикой. Первый набор плиток имел более 20-ти тысяч штук, потом набор сократился до 104, а потом до 6-ти. Д. Амманн нашёл удивительное решение из всего трёх плиток. Потом Р. Пенроуз построил непериодические мозаики из двух плиток. А уже в нашем веке австралийцы Дж. Соколар и Дж. Тейлор предложили всего одну плитку и объявили, что проблема решена. Однако, если смотреть в корень, мозаика австралийцев – это непериодический узор, который получается из рисунка, нанесённого на плитку замощения, а мозаика самой плитки прозаически периодическая. Кстати, и мозаики Пенроуза тоже этим грешат. В данной заметке рассмотрены условия, при которых одна плитка действительно порождает непериодическое замощение плоскости.
.
Геометры утверждают, что выбраться из одной геометрии (внутри абсолюта) в другую геометрию (вне абсолюта) невозможно. Невозможно переместиться и в обратном порядке. Однако, некоторые отрезки прямых перенести из одной геометрии в другую возможно посредством некоторой геометрии с мнимой метрикой. Для этого надо воспользоваться уравнением геометрической «телепортации». Не путайте с телепортацией, о которой пишут фантасты (0-транспортировка) и некоторые физики (телепортация квантовых объектов). О геометрической телепортации и говорится в этой заметке.
.
15. ИНВЕРТИРОВАННЫЙ РЕПЕР <I_Reper>.
Известно, что вещественная проективная плоскость – это неориентированная (односторонняя) поверхность. Говорить о выворачивании такой поверхности наизнанку нет смысла. Попробуйте вывернуть наизнанку, например, лист Мёбиуса. Но мы попробуем посмотреть на этот вопрос с аналитической точки зрения.
.
16. МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНО-ПРОЕКТИВНОЙ РЕШЁТКИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА <LP_Netz>.
С образами элементов проективной геометрии мы постоянно сталкиваемся в нашей обыденной жизни и привыкли не обращать на это внимания. А известный французский математик А. Пуанкаре вообще утверждал, «…что из всех геометрий априорность присуща лишь проективной геометрии».
Попробуем представить себе, что где-то на микроуровне наше родное евклидово пространство состоит из элементов проективной геометрии. Как это можно описать на языке математики.
.
Действительная проективная плоскость является одним из простейших замкнутых многообразий. Представить этот объект в нашем пространстве «живьём» очень не просто. Но существует множество моделей проективной плоскости, которые помогают изучать свойства проективной плоскости. Рассмотрением одной из таких моделей – гептаэдром – мы и займёмся.
