Нечасто попадается статья, в которой нормальным человеческим языком раскрываются важные математические идеи и которая даёт новое направление собственным размышлениям. Таким событием, можно сказать, — откровением стал для меня 15 лет назад обзор «The Story of the 120-Cell» («Рассказ об ячейнике-120″) Джона Стилвела в журнале Американского математического общества (Notices of the AMS, Jan. 2001 <Ячейник-120, 2001-Стилвел> ). Обзор был посвящён правильным телам (регулярным политопам), существующим в четырёхмерном пространстве, — аналогам правильных многогранников (Платоновых тел) в нашем трёхмерном мире. Подобно тому, как плоскими гранями Платоновых тел служат правильные многоугольники, области пространства (их называют ячейками), ограничивающие четырёхмерные политопы, — уже сами Платоновы тела. Наиболее сложный из этих политопов содержит 120 додекаэдров:
(https://www.bathsheba.com/math/120cell/)
Главное, Стилвел сумел показать, как в этих фигурах взаимосвязаны, образуя поистине мистическое единство, разные области математики — кватернионы и проективная геометрия, алгебра и топология. И всё это умственно постижимо, поскольку абстракциям соответствуют геометрические образы. Интересно, что в этой области были просмотры, казалось бы, достаточно прозрачных (с нынешней точки зрения) вещей даже со стороны великих творцов; это лишний раз подтверждает: трудней всего открыть что-то простое.
Обзор пробудил интерес к правильным многогранникам и политопам, став исходным пунктом наших исследований их возможной связи с физикой (очень помогли «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» Феликса Клейна — о группах вращения Платоновых тел и др.), в результате которых появилась опубликованная в 2006 году статья «Платоновы тела и элементарные частицы» (<Платоновы>). Есть ли в ней рациональное зерно или же она просто любопытная фантазия? — я до сих пор не знаю.
В последнем номере того же американского издания (2015, Dec.) — новая статья «Puzzling the 120–Cell» про политоп-120: <Ячейник-120, 2015>. (Ещё не читал.)
В нём же встретил печальную информацию: оказывается, один из самых блестящих математиков Уильям Тёрстон умер в 2012 г. в возрасте 65 лет. У меня есть его книга «Трёхмерная геометрия и топология», Том 1 (М.: МЦНМО, 2001), в которой тоже кое-что говорится о правильных телах (в гиперболическом пространстве, а это удивительный и очень богатый по допустимым структурам мир); хотя моего уровня хватило только на первые две главы, думаю, её справедливо называют «звёздной» (см. в ней предисловие редактора перевода О.В.Шварцмана).
А в начале книги (раздел «Советы читателю») автор говорит, что «наиболее эффективные логические подходы к предмету обычно сильно отличаются от психологически комфортных способов его изучения… в математической литературе преобладает дедуктивный подход… без примеров, без мотивировок…» Да, правят бал наукообразие и пресловутый бурбакизм.
(Обновлено — )