Феликс Клейн (1849—1925) проявлял живой интерес к теории относительности. Он собирался посвятить ей второй том своих лекций, которые читал в 1915—17 гг., но состояние здоровья помешало ему подготовить их к печати. Хотя после его смерти книгу издали в 1927 г. (русский перевод —только в 2003-м. М.-Ижевск: ИКИ), она, в отличие от первого тома «Лекций», носит более эскизный, отрывочный характер.

Будучи создателем концепции, получившей название «Эрлангенской программы» (по его знаменитой лекции в Эрлангене 1872 г.), в которой он классифицировал геометрии по их инвариантам относительно разных групп преобразований, Клейн особенно интересовался именно групповым аспектом СТО. Конечно, он обратил внимание на работы молодых английских физиков из Ливерпульского университета Гарри Бейтмана (1882—1946; фото слева) и Эбенизера Каннингхэма (1881—1977; справа). В 1908—10 гг. они показали конформную инвариантность уравнений Максвелла (волнового уравнения), то есть сохранение своего вида при растяжениях (дилатациях), а также инверсиях (это зависящая от 15 параметров конформная группа G-15).

Но ведь переход от преобразований Галилея к новым (Лоренца) осуществили, как раз исходя из требования инвариантности уравнений Максвелла, поэтому казалось естественным предположить, что конформная группа должна лежать в основе ТО. Именно к этой группе приводит условие постоянства скорости света (инвариантность светового конуса). Однако в итоге преобразования Лоренца получились более узкими — дилатации вместе с инверсиями были исключены.

Клейн ясно видел неестественность возникшей ситуации и размышлял: можно ли создать ТО на базе конформной симметрии (уже в 1910 г. так ставил вопрос Каннингхэм в статье «The principle of relativity and extension thereof»)? Клейн отмечал, что группа G-15 пока не привлекла большого внимания и что интуиция физиков, с которыми он обсуждал этот вопрос, «совершенно противится» тому, чтобы положить её в основание теории относительности. Да и сам он тоже относился скептически к такой возможности:

Я в это не верю. Группа Лоренца в целом ещё состоит в известном родстве с группой Галилея-Ньютона классической теории. Переход же к теории относительности конформной группы G-15 влиял бы много радикальнее.

В самом деле, механика в конформную симметрию вписывалась плохо.

Как отметил биограф Эйнштейна А. Пайс в своей известной книге (с. 310), в 1917 г. Клейн написал Эйнштейну о конформной инвариантности уравнений Максвелла, а тот ответил: «Мне кажется, Вы сильно преувеличиваете значение формального подхода. Он может быть весьма ценным, когда необходимо сформулировать в окончательном виде уже обнаруженную истину, но редко срабатывает как средство эвристического поиска». Вообще Эйнштейн часто выражал убеждение, что математические соображения могут привести к открытию физических законов, а тут, видите ли, «формальный подход»; в общем, не увидел он (как и другие) пути к созданию конформной ТО.

Да, в основе должна лежать конформная группа, и всю физику требуется перестроить под неё. Это действительно будет радикальное изменение, о котором говорил Клейн.