В 2014 г. д-р Ю. Накаяма из Калтеха обубликовал обзор «Scale invariance vs conformal invariance»: <Nakayama>. Начал он статью так: 

In the late 1970s, there was a legendary international conference at Dubna, a city in the former Soviet Union. The theme of the workshop was scale invariance in physics. The organizer was N.N. Bogoliubov, who is one of the founders of the renormalization group and who first introduced the concept of scale invariance in quantum field theory. His influence on renormalization group, among other numerous contributions to mathematical physics, was enormous… At one point of the conference after the plenary session for scale invariance, one western physicist asked a question, which KGB might have called “provocative” in those days: «What is the difference between scale symmetry and conformal symmetry?» The speaker got stuck and hesitated to answer. The chairman of the session, Bogoliubov, however, immediately took the microphone and spoke with dignity “There is no mathematical difference, but when some young people want to use a fancy word they call it Conformal Symmetry”. One young eastern physicist could not stand this answer, stood up and yelled “15 parameters!”. The yell echoed but did not reach. The adjournment of the meeting was quickly announced. The name of the eastern young physicist is Alexander Migdal, who is one of the earlier advocates of the use of conformal invariance in theoretical physics.

Да, понятия scale invariance and conformal invariance в основном фигурируют в квантовой теории поля. Как видим, ясности в их содержании не было, а ведь это важнейшие понятия, которые обсуждаются с начала прошлого века; началась же вся история с рассмотрения групп симметрии уравнений Максвелла — я уже писал об этом в заметке «Ф. Клейн о конформной симметрии»: <КлейнКонформн>.

Такое впечатление, что значение обнаруженного Бейтманом и Каннингхэмом важнейшего факта — конформную инвариантность уравнений электродинамики — до сих пор не осознано. То есть, во-первых, они ивариантны относительно РАСТЯЖЕНИЙ—СЖАТИЙ (scale invariance), а во-вторых, относительно ИНВЕРСИИ. Именно включение инверсии и отличает конформное преобразование (15 параметров) от масштабного (только 11). 

Математически инверсию (преобразования обратных радиусов) изучали Г. Монж, Ж. Луивилль, А. Мёбиус, Л. Кремона и др. Это достаточно простое, но всё же НЕЛИНЕЙНОЕ преобразование (чем оно сразу отпугивало физиков). См рис. — инверсия относительно окружности: точки Р и Р` связаны преобразованием инверсии, то есть произведение отрезков ОР  и ОР` дают квадрат радиуса окружности; его важнейшее свойство: окружности переходят в окружности (прямые тоже считаются окружностями). В трёхмерном случае сферы переходят в сферы — сферические преобразования  (Софус Ли); Бейтман — «spherical wave transformations».

Каков же физический смысл инверсии в электромагнитизме? Чёткого ответа я не нашёл, а потому выскажу своё предположение: с ней как-то связаны запаздывающий и опережающий потенциалы, расходящиеся и сходящиеся волны. Как известно, обычно рассматривают только запаздывающий потенциал, но Р. Фейнман с Дж. Уилером использовали в квантовой электродинамике также и опережающий (о чём Фейнман популярно рассказал в своей нобелевской лекции; кстати, в текущем году отметим сто лет со дня рождения этого блестящего теоретика).

Как я уже отмечал в указанной заметке, было много попыток распространить конформную симметрию на всю физику. П. Дирак писал: It appears as one of the fundamental principles of Nature that the equations expressing basic laws should be invariant under the widest possible group of transformations (Long range forces and broken symmetries, Proc. R. Soc. Lond., A 333, 403-418, 1973).

Но эта программа не увенчалась успехом, прежде всего, потому, что был необоснованно сужен вид преобразований (Лоренца). Наш подход позволит исправить эту ошибку (см. «Мемуар»: <МемуарВиХра>).