Снова о конформной симметрии

ФизикаСложн

В 2014 г. д-р Ю. Накаяма из Калтеха обубликовал обзор «Scale invariance vs conformal invariance»: <Nakayama>. Начал он статью так: 

In the late 1970s, there was a legendary international conference at Dubna, a city in the former Soviet Union. The theme of the workshop was scale invariance in physics. The organizer was N.N. Bogoliubov, who is one of the founders of the renormalization group and who first introduced the concept of scale invariance in quantum field theory. His influence on renormalization group, among other numerous contributions to mathematical physics, was enormous… At one point of the conference after the plenary session for scale invariance, one western physicist asked a question, which KGB might have called “provocative” in those days: «What is the difference between scale symmetry and conformal symmetry?» The speaker got stuck and hesitated to answer. The chairman of the session, Bogoliubov, however, immediately took the microphone and spoke with dignity “There is no mathematical difference, but when some young people want to use a fancy word they call it Conformal Symmetry”. One young eastern physicist could not stand this answer, stood up and yelled “15 parameters!”. The yell echoed but did not reach. The adjournment of the meeting was quickly announced. The name of the eastern young physicist is Alexander Migdal, who is one of the earlier advocates of the use of conformal invariance in theoretical physics.

Да, понятия scale invariance and conformal invariance в основном фигурируют в квантовой теории поля. Как видим, ясности в их содержании не было, а ведь это важнейшие понятия, которые обсуждаются с начала прошлого века; началась же вся история с рассмотрения групп симметрии уравнений Максвелла — я уже писал об этом в заметке «Ф. Клейн о конформной симметрии»: <КлейнКонформн>.

Читать далее

Ф. Клейн о конформной СТО

Феликс Клейн (1849—1925) проявлял живой интерес к теории относительности. Он собирался посвятить ей второй том своих лекций, которые читал в 1915—17 гг., но состояние здоровья помешало ему подготовить их к печати. Хотя после его смерти книгу издали в 1927 г. (русский перевод —только в 2003-м. М.-Ижевск: ИКИ), она, в отличие от первого тома «Лекций», носит более эскизный, отрывочный характер.

Будучи создателем концепции, получившей название «Эрлангенской программы» (по его знаменитой лекции в Эрлангене 1872 г.), в которой он классифицировал геометрии по их инвариантам относительно разных групп преобразований, Клейн особенно интересовался именно групповым аспектом СТО. Конечно, он обратил внимание на работы молодых английских физиков из КаннингхэмБейтманЛиверпульского университета Гарри Бейтмана (1882—1946; фото слева) и Эбенизера Каннингхэма (1881—1977; справа). В 1908—10 гг. они показали конформную инвариантность уравнений Максвелла (волнового уравнения), то есть сохранение своего вида при растяжениях (дилатациях), а также инверсиях (это зависящая от 15 параметров конформная группа G-15).

Но ведь переход от преобразований Галилея к новым (Лоренца) осуществили, как раз исходя из требования инвариантности уравнений Максвелла, поэтому казалось естественным предположить, что конформная группа должна лежать в основе ТО. Именно к этой группе приводит условие постоянства скорости света (инвариантность светового конуса). Однако в итоге преобразования Лоренца получились более узкими — дилатации вместе с инверсиями были исключены.

Читать далее