Проективная геометрия (ПГ) — самая общая, из неё (при определённых наложенных ограничениях) получаются другие известные нам геометрии, например Евклида и Лобачевского. Как сказал знаменитый английский математик Артур Кэли, «проективная геометрия — это вся геометрия». А его немецкий коллега Герман Ганкель выразил мнение, что ПГ и есть тот «царский путь» в геометрии, в котором Евклид по преданию отказал царю Птолемею.
ПГ обладает многими интересными чертами, она красива, можно даже сказать — элегантна. Прежде всего, её отличает принцип двойственности: любое её утверждение можно сформулировать двояко, а с различными примерами двойственности имеют дело в физике (например корпускулярно-волновой дуализм). Но роль ПГ в физике пока незначительна, физики-теоретики обычно знают эту область геометрии плохо (в некоторых известных учебниках она вообще не упоминается; хотя, конечно, её использовал Роджер Пенроуз в своей твисторной программе).
К счастью, есть отдельные энтузиасты изучения ПГ и её применения в физике. Нам лично известны двое. Это исследователь из Нижнего Новгорода В.А. Шашлов, который пытается создать на основе ПГ всеобъемлющую физическую теорию (очень любопытна построенная им теория атомного ядра — с наглядными моделями, которыми может оперировать даже школьник). См. его сайт: <В.А.Шашлов>
Второй — проживающий в Дрездене (Германия) русскоязычный математик Франц Герман. У него много статей на эту тему. См. его сайт: <ФранцГерман>
А мы посвятили теме «Проективная геометрия и физика» свою статью «Прообраз красоты мира» (ХиЖ, 1999, № 1). Она представлена на этом сайте: <Прообраз>
Добавление от 24.11.15. Обнаружил, что неевклидовы геометрии активно исследует доцент Саратовского университета Людмила Николаевна Ромакина, при этом она исходит из проективной геометрии: <РомакинаСГУ>. А вот удивительная история, связанная с её докторской диссертацией: <РомакинаДиссер>.
Добавление от 10.02.16. Встретилась, видимо, недавняя её статья, показывающая её общие взгляды на взаимоотношения физики и математики: <РомакинаОбщийВзгляд>
Мне кажется, стоит еще упомянуть работы Побиска Кузнецова (http://www.pobisk-memory.narod.ru/), прямо использовавшего проективный подход и Габриэля Крона (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD,_%D0%93%D0%B0%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%8D%D0%BB%D1%8C) с его абсолютом двойственности.
Упомянуть можно, но П.Кузнецов, по-моему, только декларировал важность проективной геометрии, но конкретно проективный подход не развивал; понятие двойственности пронизывает разные разделы математики, и Г.Крон как-то его применял. Скорее, нужно вспомнить Р.Пенроуза с его твисторами.
+ статья В.В. Попкова (Международный институт Богданова) «Двойственность» http://noosphera1.narod.ru/text/dualism.htm
Насколько я знаком с идеями Г. Крона, дуализм был для него фундаментальным понятием. По сути, это релятивизм — две равноправные системы отсчета и наблюдаемый из них объект.
Возможно. В молодости читал диакоптику Крона, но ничего у меня в голове от неё не осталось.