Картина Маурица Эшера «Ангелы и демоны»

Как я писал в предыдущем посте, А. Пуанкаре предложил модель геометрии Лобачевского (ГЛ) в круге, в которой точками служат точки, а прямыми – дуги окружностей, ортогональные границе круга (=абсолюту). Учёный описал её в мемуаре «Теория фуксовых групп» (1882), а ранее, в 1971 году, другую модель ГЛ (тоже в круге) выдвинул Ф.Клейн (путь этим идеям проложил своей работой 1968 года Э.Бельтрами). Но Пуанкаре не остановился на своей геометрической модели, а десятью годами позже придумал её интерпретацию, получившую название «диск Пуанкаре» (ДП).

Представим, — писал он, — что круг есть плоская вселенная, где живут некие двумерные существа («флатландия»). Всем там управляет некоторая физическая величина «температура» Т, которая неодинакова в разных местах — она максимальна в центре круга и уменьшается по простому закону (его вид задал Пуанкаре) к периферии, достигая на абсолюте нуля. Все предметы на диске имеют размеры, пропорциональные значению Т в данном месте (то есть температура определяет масштаб, который в разных точках разный). Обитатели диска, переходя из одной его точки в другую, не чувствуют изменения Т (=масштаба), то есть физические законы там масштабно-инвариантны (достигнуть абсолюта обитатели не могут, так как расстояние до него бесконечно — предельная окружность). Оказалось, что при указанном Пуанкаре законе изменения метрики геодезическими на ДП будут части дуг окружностей, ортогональных абсолюту, и, значит, рассмотрение этих дуг как «прямых» логически оправдано.

(Кстати, о диске Пуанкаре. У него масштаб максимален в центре круга и падает до нуля к периферии. А что будет, если сделать наоборот: максимально на окружности и ноль в центре? Какие будут геодезические в таком круге?)

Итак, Пуанкаре измыслил необычный плоский мир, в котором правит бал ГЛ. Мы же хотим попытаться найти для этой воображаемой конструкции конкретное воплощение в нашем реальном физическом мире.

Давайте рассмотрим упругую круглую мембрану с закреплённым краем. Задача о колебаниях такой мембраны относится к классической физике (а одномерный случай – колебание струны — изучали в античности). Понятно, что если наносить по мембране одинаковые удары молоточком в разных местах, то отклонения будут неодинаковы – максимальное в центре, при движении к краю оно будет уменьшаться, достигнув на нём нуля (он закреплен).

И тут мне пришла мне в голову мысль: а нельзя ли интерпретировать это как неодинаковость масштаба длины в разных точках диска? Если «да», то упругая мембрана КАЧЕСТВЕННО (про КОЛИЧЕСТВЕННО – нужно исследовать) моделирует ДП, и тогда в этом — уже не геометрическом, а физическом объекте — как-то проявляет себя ГЛ. Ведь, как отмечали многие мыслители, априори считать, что во всех природных объектах реализуется привычная нам геометрия Евклида, нет никаких оснований.

А если так, то решать задачу о собственных колебаниях такой мембраны нужно уже по-иному. Как известно, при поиске системы узловых линий, которые разделяют круг на области, колеблющиеся в противофазе, отталкиваются от представлений о симметрии, определяемых конкретным видом геометрии. В случае евклидовой, узловыми линиями будут концентрические окружности, а также диаметры (разбивающие круг на сектора) — их набор определяет всё множество возможных колебаний.

Но если в круге реализуется ГЛ, то понятия о симметрии (равенстве, или конгруэнтности областей) будут уже совершенно другими. В ГЛ открываются несравненно более богатые, просто неограниченные возможности разбивать круг на конгруэнтные (в смысле этой геометрии) области. Несколько иллюстраций (самая первая — так называемая модулярная фигура):

Круг удаётся замостить ЛЮБЫМИ правильными многоугольниками (некоторые картины Маурица Эшера основаны на этих разбиениях круга — см. выше), примеры:

Когда древние греки рассуждали о колебаниях струны, они исходили из представления о привязанной одним концом к дереву верёвке, в которой легко возбуждать стоячие волны (разные гармоники). Но если посмотреть на колебание реальной струны, то видно, что ближе к закреплённым концам расстояние между узлами падает (то же верно для круговых узловых линий на мембране). Но ведь именно так должно быть при ГЛ.

Можно, по аналогии, представить и трёхмерный случай (колебания упругого шарика с закреплённой поверхностью) и предположить, что в нём будут проявляться эффекты ГЛ. В связи с этим вспомним, что в теории атома он тоже рассматривается как трёхмерный сферический резонатор и в нём тоже ищутся узловые поверхности. В евклидовой геометрии они одни, в ГЛ совсем другие. Общепринятая теория основана на первой, хотя были отдельные попытки построить теорию атома, исходя из ГЛ (например, В.А. Фока – см. книгу: А.П. Котельников, В.А. Фок. Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М.-Л., 1950).

Конечно, всё это пока спекулятивно, но иногда и поставить вопрос тоже важно.