Обыкновенный гений Б. Риман

За свои неполные 40 лет жизни Бернхард Риман (1826—1866) обогатил науку глубочайшими новаторскими идеями, его труды определили развитие многих направлений математики и физики.

Риман

Рассматривая его деятельность, Ф. Клейн писал в «Лекциях» (с. 273—300):

Отгородившись от окружающего мира, Риман тихо жил своей необычайно богатой внутренней жизнью. В нём видны характерные черты гения: внешне он робок и чудаковат, а внутренне — полон сил и размаха… 

Риман был человеком блистательной интуиции, своей всеобъемлющей гениальностью он превосходил всех своих современников. Там, где пробуждался его интерес, он начинал всё заново, не давая сбить себя с толку традициям и не признавая непреложности существующих систем.

Далее он отмечает, что идеи Римана, как правило, долго оставались без строгого доказательства, так как намного опережали своё время; но рано или поздно его предвидения подтверждались. Клейн пишет:

Конечно, математические доказательства, вынуждающие нас своей убедительностью принять их, замыкают теорию, как замыкает свод последний, замкОвый камень. Отказавшись от такого характера своих доказательств, математика подписала бы себе смертный приговор.

Однако то, как ищутся новые задачи, как предчувствуются новые результаты, как обнаруживаются новые факты и связи, — всё это навсегда останется секретом творческой лаборатории гения. Не создавая новых концепций, не ставя новых целей, математика со всей логической строгостью её доказательств скоро исчерпала бы себя и впала в состояние застоя, полностью израсходовав свой материал.

С этой точки зрения, максимальное содействие нашей науке оказывают те, кто выделяются не столько строгостью доказательств, сколько интуицией. Среди математиков последних десятилетий, вне всякого сомнения, именно Риман оказал наибольшее воздействие на развитие нашей науки.

Тут можно ещё вспомнить слова Жака Адамара: «Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции, — и никакой другой цели у неё никогда не было».

С. Вайнберг о струнах и симметрии

ВайнбергАмериканский физик-теоретик Стивен Вайнберг (р. 1933), получивший в 1979 г. «нобеля» вместе с А. Саламом и Ш. Глэшоу, известен также как отличный популяризатор. Особенно большой резонанс вызвали его книги «Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной» (оригинал 1977, перевод 1981) и «Мечты об окончательной теории. Физика в поисках самых фундаментальных законов природы» (оригинал 1992, перевод 2004).

Во второй из них он рассматривает и теорию струн. В отличие от своего коллеги Шелдона Глэшоу, Вайнберг хорошо к ней относится (по крайней мере, так было в период написания книги) и, обсуждая её, сказал кое-что для нас важное (с. 169):

Сейчас ясно, что существуют тысячи теорий струн… и все они удовлетворяют некоторой фундаментальной симметрии, известной, как конформная симметрия. Такая симметрия возникает не из наблюдений природных явлений, как, скажем, эйнштейновский принцип относительности. Напротив, конформная симметрия представляется необходимой, чтобы гарантировать совместимость теорий струн с квантовой механикой. С этой точки зрения тысячи разных теорий струн просто представляют разные способы удовлетворить требованиям конформной симметрии. Широко распространено мнение, что все эти разные теории струн на самом деле не разные, а лишь представляют различные способы решения одной и той же лежащей в основе всего теории.

Вот, оказывается, какую определяющую роль играет конформная симметрия в теории струн. Ну а мы думаем, что она лежит в самом основании физики — в принципе относительности, в исправленных преобразованиях Лоренца (с доплеровским множителем). 

Ф. Клейн о конформной СТО

Феликс Клейн (1849—1925) проявлял живой интерес к теории относительности. Он собирался посвятить ей второй том своих лекций, которые читал в 1915—17 гг., но состояние здоровья помешало ему подготовить их к печати. Хотя после его смерти книгу издали в 1927 г. (русский перевод —только в 2003-м. М.-Ижевск: ИКИ), она, в отличие от первого тома «Лекций», носит более эскизный, отрывочный характер.

Будучи создателем концепции, получившей название «Эрлангенской программы» (по его знаменитой лекции в Эрлангене 1872 г.), в которой он классифицировал геометрии по их инвариантам относительно разных групп преобразований, Клейн особенно интересовался именно групповым аспектом СТО. Конечно, он обратил внимание на работы молодых английских физиков из КаннингхэмБейтманЛиверпульского университета Гарри Бейтмана (1882—1946; фото слева) и Эбенизера Каннингхэма (1881—1977; справа). В 1908—10 гг. они показали конформную инвариантность уравнений Максвелла (волнового уравнения), то есть сохранение своего вида при растяжениях (дилатациях), а также инверсиях (это зависящая от 15 параметров конформная группа G-15).

Но ведь переход от преобразований Галилея к новым (Лоренца) осуществили, как раз исходя из требования инвариантности уравнений Максвелла, поэтому казалось естественным предположить, что конформная группа должна лежать в основе ТО. Именно к этой группе приводит условие постоянства скорости света (инвариантность светового конуса). Однако в итоге преобразования Лоренца получились более узкими — дилатации вместе с инверсиями были исключены.

Читать далее

ВТФ — математический Эверест

В 1993 г. произошло важное событие: англо-американскому математику Эндрю Уайлсу удалось построить доказательство ВТФ (Великой теоремы Ферма  — её сформулировал в 1621 г. Пьер де Ферма). Работа Уайлса была очень сложна и занимала сотни страниц, так что её проверка сама представляла большую проблему.

Эндрю Уайлс

…………………..ЭНДРЮ УАЙЛС…………..

Затем английский физик и популяризатор науки Саймон Сингх написал книгу «ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет», в которой осветил историю проблемы и подход Уайлса. Её перевод, выполненный Ю.А. Даниловым, вышел у нас в 2000 г. (М.: МЦНМО).

Потом я написал на неё рецензию «Ферма, Уайлс и единство математики», опубликованную в ХиЖ (2001, № 7-8): <Ферма>, а закончил её такими словами: 

Итак, поставленная Ферма проблема официально закрыта. Но ведь никто не утверждает, что её нельзя решить по-иному, отыскав какие-то неожиданные ходы, которые, быть может, потребуют всего несколько страниц выкладок. А пока такого простого доказательства нет, увлекательные интеллектуальные приключения вокруг этой проблемы, наверное, не закончатся. Теорема Ферма доказана — да здравствует теорема Ферма!

Да, попытки найти простое решение продолжаются (а над их авторами, которых давно прозвали ферматистами, конечно, продолжают иронизировать). Вот одна из последних: <ВТФ-В.Сорокин>, причём автор обещает премию в тысячу евро тому, кто первым укажет на ошибку.

Почтовая марка Чехии 2000 года ко Всемирному году математики

Почтовая марка Чехии 2000 г. (ко Всемирному году математики)

Часто вопрошают: а какой толк будет от подобного доказательства ВТФ (если его найдут)? Меня же давно занимает другой вопрос: зачем люди стремятся покорить высочайшие горные вершины (жуткий холод, нехватка кислорода и риск сорваться в пропасть)?

Так вот, ВТФ — это интеллектуальная Джомолунгма, склоны которой покрыты следами многовековых усилий. Безумству храбрых…

Феликс Клейн о Германе Грассмане

ФКлейнОдна из моих самых любимых книг — «Лекции о развитии математики в XIX столетии» Феликса Клейна (оригинал издан в 1926 г., первый перевод на русский — в 1937-м, второй — в 1989-м). Эти лекции Клейн читал в годы Первой  мировой войны у себя на квартире для узкого круга лиц (и продолжал с перерывами до 1919 г.). Он умер в 1925 г., не успев подготовить их к изданию, которое осуществили  (по записям, машинописным копиям) его коллеги. Книга удивительная — поистине, как справедливо заметил Н.Х. Розов, «математика с человеческим лицом»: в ней история идей не отделяется от историй  людей, масса ярких портретов, в которых обычно присутствуют интересные суждения автора.

Приведу фрагменты (с.195) об известном учёном Германе Грассмане (1809—1877):Грассман

Он происходил из старинной протестантской пасторской семьи, чьи традиции включали и научные, и художественные интересы; под их влиянием его тихая, медлительная натура развивалась естественно, по своим собственным законам. Он начал свой научный путь с изучения богословия и филологии — лекций по математике Грассман не слушал никогда, но примерно с 1832 г. самостоятельно занялся освоением этой науки. Подвергшись экзамену и написав работу о приливах и отливах, он сделался преподавателем математики в гимназии и оставался им до самой смерти. Таким образом, несмотря на всю оригинальность и значение его трудов, Грассман никогда не преподавал в университете и как математик при жизни не получил настоящего признания.

Читать далее

Вопросы физика потомкам

МерминКазалось бы, совсем недавно мы встречали миллениум, но вот уже прошла шестая часть нового века. Смена веков (и даже тысячелетия) породила множество прогнозов, попыток заглянуть в будущее. Не остались в стороне и учёные.

Американец Н. Дэвид Мермин (р. 1935), известный специалист по физике твёрдого тела, бывший профессор в Корнелле и обозреватель журнала «Physics Today» выбрал такую футурологическую форму: он составил свои десять вопросов, на которые, заснув в 2000 году и проснувшись через сто лет, хотел бы получить ответы. Мермин опубликовал их в журнале со своими комментариями — можно сказать, что он сформулировал десяток самых важных, по его мнению, проблем, стоящих перед этой наукой.

Кстати, Мермин автор нескольких книг, в том числе двух по теории относительности, а также множества научных и популярных статей. В сборнике «Физика за рубежом» (М.: Мир, 1986) была его статья «Теория относительности без постулата о постоянстве скорости света», где он вывел релятивистский закон сложения скоростей на основе некоторых простых предположений.

Ещё Мермин известен как автор фразы: «Shut up and calculate» (Заткнитесь и вычисляйте!) — так он понимает точку зрения копенгагенцев; эти слова стали девизом многих физиков-теоретиков, которые не считают важным искать ясную интерпретацию квантовой механики.

На основе публикации Мермина (его вопросов потомкам) я подготовил материал «Сто лет спустя они проснулись» (парафраз названия неоконченной повести В. Шукшина, по которой был снят фильм). Он был напечатан в ХиЖ (2001, № 12): <Мермин>.

«Мистер Твистор» Роджер Пенроуз

Английский учёный Роджер Пенроуз родился в 1931 г. Он получил математическое образование, но его научные интересы очень широки: ОТОПенроуз и космология, квантовая механика и логика, мозг, искусственный интеллект, сознание… Известны найденные им апериодические узоры на плоскости (узоры Пенроуза), а также развиваемая им с 60-х годов теория твисторов.

ПенроузМозаик

Твисторы — это точки четырёхмерного пространства-времени Минковского, интерпретируемые как комплексные прямые в трёхмерном комплексном пространстве. Базируясь на работах Юлиуса Плюккера (1801—1868) и Эли Картана (1869—1951), Пенроуз надеялся построить формальный аппарат, который должен был стать фундаментом теоретической физики. И хотя поставленной цели достичь пока не удалось, его подход, видимо, имеет хорошие перспективы: твисторы как будто позволяют реализовать конформное расширение нынешних (урезанных) преобразований Лоренца. Нужно отметить, что Пенроуз исходит из проективной геометрии, которая у большинства физиков не в чести, и использует комплексное пространство. Всё это вполне логично: проективная геометрия играет роль первоосновы (на ней строятся другие геометрии), и, как сказал (бы) Пифагор, «комплексные числа правят миром».

Сэр Роджер — автор нескольких популярных книг, где в свободной форме обсуждает самые разные вопросы (иногда его «заносит», и он выдвигает легковесные спекулятивные гипотезы). В 1989 г. издал книгу «The Emperor`s New Mind. Concerning Computers, Minds and The Laws of Physics», перевод которой под названием «Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики» вышел у нас в 2003 г. Я написал на неё рецензию «А король-то умный!», опубликованную в ХиЖ (2003, № 4): <Пенроуз>.

Гравитационист А.З. Петров об ОТО

Алексей Зиновьевич Петров (1910—1972) — известный советский математик и физик-теоретик, основатель научной школы по гравитации и ТО, завкафедрой Казанского ГУ, завотделом Петровв Институте теорфизики АН УССР. В 1965 г. вышел сборник статей «Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистской космологии» (Киев: Наукова думка), где была статья Петрова «Современное состояние развития теории гравитационного поля». Он писал (с. 34):

После опубликования основной работы А.Эйнштейна в 1916 году, сразу завоевавшей множество сторонников, появилась громадная литература, посвящённая ОТО и решению тех или иных проблем на основе этой теории. <…> Однако огромная популярность теории при малых физических приложениях и почти при полном отсутствии экспериментальной разработки и проверки выводов теории сослужила для неё, как это всегда бывает в таких случаях, плохую службу.

Подобно тому, как человек, воспитанный в «оранжерейных» условиях, лишённый забот, трудовых обязанностей, может пройти эволюцию от милого ребёнка до великовозрастного  бездельника и, как естественный предел, превратиться в законченного тунеядца, та и научное направление, слабо опирающееся на эксперимент, не несущее обязанности давать отдачу в смежные области физики, несомненно может захиреть; ему угрожает опасность пойти по пути чисто формального, а иногда и просто спекулятивного развития…

А в 1972 г. издали перевод (под редакцией А.З. Петрова) книги видного франко-американского физика Леона Бриллюэна (1889—1969) «Новый взгляд на теорию относительности» (оригинал 1970 г.). В предисловии Петров отметил, что СТО имеет чрезвычайно убедительные экспериментальные подтверждения. И далее:

Что же касается ОТО, то вопреки довольно широко распространённому мнению могучее сооружение этой теории покоится на столь шатком экспериментальном фундаменте, что её можно было бы назвать колоссом на глиняных ногах.

*  *  *

Да, колосс на глиняных ногах, стоящий на болоте СТО.

Нанотехнология In Statu Nascendi

Понятие нанотехнологии уже вошло в научный и даже общий обиход. Есть разные его определения, но суть простая: это манипулирование веществом на атомном и молекулярном уровне. Обычно считают, что начало тут положил в 1959 г. Ричард Фейнман в лекции «There’s Plenty of Room at the Bottom» («Там внизу — много места»). Основной его вывод заключался в том, что фундаментальные физические законы не запрещают работу с отдельными молекулами и даже атомами.

Толчком к практической реализации идеи послужило изобретение в начале 80-х годов сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) двумя исследователями из Цюрихского подразделения IBM — Генрихом Рорером и Гердом Биннигом (Нобелевская премия по физике за 1986 год; вместе с Эрнстом Руской, создавшим в 30-х годах электронный микроскоп). СТМ открыл совершенно новые возможности в изучении рельефа поверхности с атомным разрешением, а кроме того, неожиданно оказалось, что с его помощью можно перемещать отдельные атомы с места на место. Большое впечатление произвело полученное в сентябре 1989 года сотрудником IBM Доном Эйглером изображение трёх букв I-B-M, выложенных 35 атомами ксенона, — он стал первым человеком в истории, который смог контролировать положение отдельных атомов.

Картинки по запросу нанотехнология

Четверть века назад нанотехнология, как научное направление, только формировалась, но уже активно обсуждались перспективы её развития, рассматривались разные проекты (и прожекты). Я в 1992 г. написал небольшую статью «Атомы на поводу» (опубликована в ХиЖ в ноябре), где в какой-то степени отражён этот начальный, романтический этап: <АтомыПовод>. Сейчас, наверное, уже можно подвести промежуточные итоги — оценить, что из высказанного разными специалистами в те годы оказалось верным, а что нет.

Перевод упомянутой статьи Фейнмана (с сокращениями), сделанный А.В. Хачояном, был позднее напечатан в ХиЖ (2002, № 12). Её можно найти в Сети.

СТО: аксиоматика К. Каратеодори

Константин Каратеодори (1873—1950) происходил из семьи греческого дипломата, в которой девизом было: «Никакое Каратдориусилие не бывает слишком большим». Он получил техническое образование, но в 26 лет бросил карьеру инженера и решил учиться на математика. Многие расценили этот шаг как неумный, ибо считается, что в таком возрасте начинать восхождение к «царице наук» уже поздно. Как впоследствии говорил Каратеодори, «он не мог избавиться от навязчивой идеи, что полное посвящение себя математике наполнит его жизнь смыслом».

И он реализовал свою мечту: получил математическое образование в Берлине и Гёттингене, став в 1924 г. профессором Мюнхенского университета. Известен работами по теории функций, вариационному исчислению, теории конформных отображений и др. 

Его привлекала проблема построения строгой аксиоматики физических теорий. В 1909 г. разработал аксиоматический подход к термодинамике, а в 24-м попытался логически обосновать СТО (его работа «К аксиоматике специальной теории относительности» вышла у нас в сборнике «Развитие современной физики» в 1964 г.). Каратеодори полагал, что нужно делать измерения, используя лишь процедуры со световыми сигналами, а не эйнштейновские «твёрдые линейки» и «часы». Он приходит к выводу, что тогда будет реализована 15-параметрическая конформная группа, то есть более общая, чем при обычных преобразованиях Лоренца. А потом приводит соображения, почему конформную группу нужно сузить, исключив из неё нелинейные преобразования, а именно, инверсию.

Наш историк физики проф. Вл.П. Визгин в 1974 г. опубликовал важный обзор: «ИЗ ИСТОРИИ КОНФОРМНОЙ СИММЕТРИИ В ФИЗИКЕ (о некоторых особенностях взаимосвязи физики и математики в ХХ веке)» (Историко-математические исследования, вып. XIX. М.: Наука), где говорил и о подходе Каратеодори. И в том же году ИАЭ им. И.В.Курчатова выпустил препринт Г.А. Котельникова «ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ТЕОРИЙ» <Котельников>. В связи с предложенными нами изменениями вида преобразований этот вопрос снова ставится на повестку дня.

Любопытно, что одновременно с появлением каратеодоровской аксиоматики СТО, свою, причём похожую на неё, опубликовал немецкий (позже — американский) философ Ганс Рейхенбах (1891—1953). Но, как признают релятивисты, обе эти попытки нельзя признать успешными.