The Vision of Felix Klein

В своё время не купил книгу Дэвида Мамфорда, Дэвида Райта и Кэролайн Сирис «ОЖЕРЕЛЬЕ ИНДРЫ. Видение Феликса Клейна» (МЦНМО, 2011, оригинал 2002 г.), но помнил о ней и наконец достал. Один из авторов Мамфорд (р. 1937) — известный американский математик, получивший медаль Филдса ещё в 1974 г.

Книга посвящена преобразованиям Мёбиуса (дробно-линейным преобразованиям на комплексной плоскости). Основная её цель — раскрыть тот достаточно простой матаппарат, что даёт возможность получать на компьютерах красивые картинки, соответствующие фракталам (название отражает их связь с образами восточной философии, буддизма). На эту тему есть известная книга Х.-О. Пайтгена и П.Х. Рихтера «Красота фракталов» (М.: Мир, 1993), писал о фракталах и я — вот мои статьи:

1) ПОСТИЖЕНИЕ ХАОСА (ХиЖ, 1992, № 8) <ПостХаоса>. О детерминированном хаосе, странных аттракторах, множестве Мандельброта.

2) ГАРМОНИЯ ХАОСА (ХиЖ, 1994, № 4) <ГармХаоса>. О выставке в Политехническом музее работ немецких математиков — полученных ими на компьютерах «портретов» хаоса, обладающих эстетической ценностью.

3) ПАЛИТРА И АЛГОРИТМЫ ПЕТРА НИКОЛАЕВА (ХиЖ, 1997, № 1) <П.Николаев>. О работах нашего специалиста в области искусственного интеллекта, который на основе фрактальных алгоритмов научился получать высокохудожественные компьютерные изображения.

Книга трёх авторов начинается с рассмотрения известных вещей (комплексных чисел, сферы Римана, стереографической проекции), а в конце подводит к переднему краю математики — гиперболической геометрии, фуксовым и клейновым группам, автоморфным функциям, программе Тёрстона… Наглядно показаны глубина и плодотворность идей, развитию которых положили начало Феликс Клейн и Анри Пуанкаре.

Большая книга «Ожерелье Индры» хорошо написана, в ней много цветных иллюстраций, поясняющих примеров и задач. 

Матшколы в 60-е годы

Напомню, что я окончил математический класс 330-й школы, и этот факт сыграл определяющую роль в моей биографии. Весной 1963 г., то есть в конце 8-го класса 644-й школы-восьмилетки мы вместе с моим одноклассником Евгением Метёлкиным стали посещать математический кружок в известной математической школе № 52 около метро «Университет» (а жили в центре), намереваясь поступить в неё. Успешно прошли собеседование и были зачислены в 9-й класс. А потом нам сообщили (причём Женя уже уехал из Москвы на каникулы), что поскольку мы учили французский язык, а «французов» набралось мало, то этого языка у них не будет; поэтому принять нас не могут.

Нужно было срочно искать другие варианты. И тут оказалось, что открывается математический класс в школе № 330 в нашем районе (20 мин ходьбы от дома). Я снова сдал, на сей раз, письменный тест (а Евгению зачли поступление в 52-ю). В результате мы стали учениками 330-й, и думаю, нам повезло (о нашем классе, учителях я писал раньше — запись от 20.9.16). Кстати, English всё равно потом пришлось начать учить, но это уже другая история.

*  *  *

ЛеонидАшкМатематические школы появились у нас в 60-х годах, что стало важным явлением в культурной и научной жизни страны. Его попытался проанализировать на примере знаменитой Второй школы Леонид Александрович Ашкинази — выпускник математической школы № 7 и МИЭМа, кандидат физ.-мат. наук, доцент, член Российского физического общества и Российского общества социологов, автор нескольких книг и множества статей на научные и общекультурные темы. Любопытно, что мы с Леонидом сначала попали в МИЭМе в одну, опять же математическую группу, потом он перешёл на другой факультет — наши пути разошлись, но четверть века спустя они неожиданно пересеклись: мы оба оказались в редакции ХиЖ.

Статья Л.А. Ашкинази «Школа как феномен культуры», опубликованная в ХиЖ (1997, № 1), представлена на нашем сайт: <МатШколаЛА>.

О строгости в математике

Феликс Клейн в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии» заметил (с. 66):

Исторически идеал «строгости» не всегда играл одну и ту же роль в развитии нашей науки. Наоборот, роль эта в зависимости от обстоятельств оказывалась весьма различной. В периоды бурной научной продуктивности строгость часто отступала на второй план, уступая дорогу тенденции к возможно более быстрому росту научного достояния, чтобы затем в периоды критицизма — периоды просеивания и классификации накопленных богатств — акцент на ней становился более сильным.

А вот что писал наш известный математик акад. Сергей Петрович Новиков (р. 1938; кстати, он учился в школе Новиков№ 330, куда потом попал и я) в большой статье «Вторая половина ХХ века и её итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе» (2002) — приведу выдержки из неё (в моём изложении):

Первая половина ХХ века — это период безраздельного господства теории
множеств в идеологии математики. На первый план выдвинулись проблемы обоснования, строгого доказательства. Сообщество математиков в 20-х годах окончательно оторвалось от физиков-теоретиков. Изучение высшей математики стало ориентироваться исключительно на единое строгое изложение. Это привело к сильному сокращению содержательного изучения тех разделов,  которые ориентировались на приложения.

Во Франции после Пуанкаре пошли по ультраабстрактному пути и создали в Париже (и затем в мире) глубокий ров между математикой и естественными науками. Блестящие группы парижских математиков культивировали и углубляли этот разрыв, выступая идеологами полной формализации всего математического образования, включая школьное. Мы называем эту программу «бурбакизмом».

И Новиков заключает:

Читать далее

Вспоминая заслуги Х. Лоренца

В последнее десятилетие прошлого века и в самые первые годы нынешнего я посещал Общемосковский семинар по истории физики и механики в ЛоренцХИИЕТе (а один раз, 27 января 2000 г. даже выступил на нём со своей гипотезой о необходимости изменения вида преобразований Лоренца — мой доклад имел скромное название «Преобразования Лоренца: история и современность»; вскоре после этого, весной того же года я выпустил свой «Мемуар» на эту тему).

Нередко в ИИЕТе проходили конференции, обычно связанные с какими-то круглыми датами. Одна из них состоялась в октябре 2003 года, когда отмечали 150 лет со дня рождения Х. Лоренца. Я написал об этом событии в рубрике «Новости науки» в ХиЖ (2003, № 12):

14 октября в Институте истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН (в ИИЕТе) прошла конференция, посвященная 150-й годовщине со дня рождения нидерландского физика-теоретика, создателя классической электронной теории, предтечи релятивизма Хендрика Антона Лоренца (1853—1928). Он внес существенный вклад в электродинамику, термодинамику, оптику, атомную и квантовую физику. Ему удалось вывести электрические, магнитные и оптические свойства вещества, исходя из анализа движения дискретных электрических зарядов.

Читать далее

«Дилетант» Феликс Клейн

Есть хорошая книга американской журналистки Констанс Рид «Гильберт» (М.: Наука, 1977; оригинал 1970), рассказывающая о Давиде Гильберте и его окружении. Конечно, много говорится и о Феликсе Клейне. Спустя несколько месяцев после его кончины в 1925 г. состоялось мемориальное заседание, на котором его коллега Рихард Курант рассказал о жизни и трудах «великого Феликса» (как называли математического «диктатора» Гёттингена) . Он в частности сказал (с. 232):

…И всё же жизнь Клейна была не лишена личной трагедии. Он обладал сильной способностью к синтезирующему ФКлейнмышлению. Другая же важная для математика способность к анализу была в некоторой степени этим ущемлена. Его умение собирать воедино далёкие друг от друга части математики было замечательным, однако способность к формулировке отдельной проблемы и к углублению в неё отсутствовала. Он был похож на лётчика, который, высоко паря над миром, открывает и оглядывает новые поля… однако не может посадить свой самолёт, чтобы освоить их и снять урожай…  его самые блестящие научные достижения являлись основополагающими научными набросками, завершение которых он предоставлял другим.

Как писал сам Клейн, во время острого соревнования с Анри Пуанкаре в теории автоморфных функций у него произошёл нервный срыв (Клейну было 33 года), и как результат: «Моя по-настоящему продуктивная работа в области теоретической математики с 1882 г. прекратилась… я оказался вынужденным заниматься в основном разработкой своих прежних идей, а позже, когда я уже был в Гёттингене, я расширил область своей деятельности и занялся общими задачами организации нашей науки».

Читать далее

Брошюры издательства «Знание»

В 1947 году, с целью развернуть в стране просветительскую деятельностью путем издания научно-популярной литературы, а также чтения лекций, в СССР организовали Всесоюзное общество «Знание». Затем общество получило и собственное издательство «Знание». С 1959 г. оно стало выпускать серии брошюр «Новое в жизни, науке, технике». То был крупнейший проект, охвативший самые разные сферы — от физкультуры  до космоса. 

В 1967 году, то есть ровно полвека назад, были созданы серии «ФИЗИКА» и «БИОЛБрошюрыЗнаниеОГИЯ». Такие брошюры, распространяемые по подписке, я ежемесячно получал много лет: интересные темы, прекрасные авторы, и стоило всё копейки. Выпуски составляли три основные группы: первая, самая большая, освещала определённые разделы науки; вторая отражала юбилеи научных открытий, вопросы философии и методологии (здесь же переводы Нобелевских лекций, прочитанных лауреатами); третья — научные биографии крупнейших учёных.  

Помимо брошюр, издательство «Знание» выпускало также разнообразные научно-популярные книги, ежегодники «Наука и человечество». Я очень много получил от них, ибо отечественная и переводная науч.-поп. литература была основным средством моего научного развития. Главное, что в этих изданиях (многие храню до сих пор) отразился золотой век советской науки — та высокая концентрация мысли, которой теперь нет.

После распада СССР общество «Знание» разделилось — его собственность на территории России перешла к обществу «Знание России», которое вскоре пришло в упадок: сократилось количество членов, исчезли многие региональные отделения. В июне 2016 года съезд общества «Знание России» принял решение о ликвидации этой организации.

ОТО и ЕТП в монографии Г. Вейля

Герман Вейль (1885—1955) — выдающийся немецкий учёный, внёсший большой вклад в разные Вейльобласти математики и математической физики. Его отличали также интерес к общенаучным и философским проблемам, широкая гуманитарная культура.

Родился близ Гамбурга, после окончания гимназии поступил в Гёттингенский университет, тогдашний мировой центр математики — в нём преподавали Д. Гильберт, Ф. Клейн, Г.Минковский… После защиты диссертации стал в Гёттингене приват-доцентом, а в 1913 г. перешёл в цюрихский Политехникум, где оказался коллегой по кафедре А. Эйнштейна. Их недолгое личное общение (в следующем году Эйнштейн перебрался в Берлин), а потом переписка сыграли важную роль в дальнейшем творчестве Вейля — он стал пропагандировать и развивать ОТО. Мемуар Эйнштейна с изложением его теории вышел в 1916-м, а уже через год Вейль прочёл о ней курс лекций.

В 1918 г. его лекции были изданы в виде монографии «RAUM-ZEIT-MATERIE», которая имела большой успех. В последующие годы выходили новые издания, причём автор каждый раз дополнял и перерабатывал текст (последнее, пятое, вышло в 1923 г.; в 1922-м появились английский и французский переводы). Вейль излагал своё понимание ОТО, не во всём совпадающее с эйнштейновским, однако Эйнштейн откликнулся на первое издание очень хвалебной рецензией.

Читать далее

Углеродные сферы и трубки

Одни из самых интересных достижений химии последних десятилетий — открытие новых углеродных структур, а именно, фуллеренов и нанотрубок. Эта тема широко освещалась в ХиЖ, значительное место она занимала и в рубрике «Новости науки», которую я вёл с конца 1992 по 2003 год. В 1996 г. Ричард Смолли, Роберт Керл и Гарольд Крото получили за фуллерены Нобелевскую премию.

МихайлоКорн

В небольшой статье «Нужен трубчатый углерод» (ХиЖ, 1985, № 8) д.х.н. профессор, завкафедрой органической химии химфака Киевского национального университета им. Тараса Шевченко Михаил Юрьевич Корнилов рассказал про работы советских авторов, которые предвосхитили эти эпохальные достижения. 

В 1973 г. Д.А. Бочвар и Е.Г. Гальперн представили результаты квантово-химических расчетов, из которых следовало, что в природе должна существовать устойчивая сфероподобная форма углерода, содержащая 60 углеродных атомов. Их выводы показались большинству ученых фантастическими, но в 85 г. такие структуры были обнаружены. (Смолли, Керл и Крото в своих Нобелевских лекциях упомянули как их статью, так и работы нескольких других исследователей из разных стран, подготовивших открытие фуллеренов).

О собственной публикации (1977) Корнилова по трубчатому углероду говорится в его статье. М.Ю. Корнилов — постоянный автор ХиЖ, в прошлом месяце он отметил своё 80-летие.

Нанотруб

Думаю, что эта его статья имеет значение для истории химии, и она представлена на нашем сайте: <КорниловТруб>.

Август Крелль о Нильсе Абеле

Норвежец Нильс Хенрик Абель (1802—1829) был в математике фактически самоучкой, но сумел обогатить «царицу наук» несколькими фундаментальными достижениями. Как сказал Шарль Эрмит«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 500 лет».  Постоянная нужда, пренебрежение к его работам со стороны математических авторитетов, туберкулёз свели Абеля в могилу в 26 лет. 
АбельПам

Бездушно отнеслись к нему французские академики и «небожитель» К. Гаусс. И всё же нашёлся человек, который принял деятельное участие в судьбе молодого учёного. Это Август Леопольд Крелль (Crelle; 1780—1855) — немецкий математик и инженер, который основал в 1826 г. «Journal für die reine und angewandte Mathematik», т. н. «Журнал Крелля». Он сумел разглядеть Крелльнеобыкновенный талант Абеля и в 1926 г. опубликовал в своём издании несколько его трудов, ставших классикой науки.

После смерти юного математика Крелль написал и поместил в журнале посвящённую ему большую статью. Приведу фрагменты (по книге О. Оре. «Замечательный математик Нильс Хенрик Абель»,  перевод с англ., М.: Физматгиз, 1961, с. 290—291):

Читать далее

Акад. А.Н. Колмогоров и геометрия

Андрей Николаевич Колмогоров (1903—1987) — выдающийся математик XX века, человек с широчайшим научным кругозором. Он внёс определяющие вклады во многие области математики и механики, стал основателем большой научной школы. Как отметили В.В. Прасолов и В.М. Тихомиров в своей книге «Геометрия» (М.: МЦНМО, 1997, с. 10—12), А.Н. обычно воспринимался как один из крупнейших аналитиков Колмогоровнашего времени, однако сам он всегда любил подчёркивать, что большинству наиболее существенных открытий он был обязан своей геометрической интуиции. (Далее я следую изложению этих авторов.)

За свою жизнь А.Н. прочитал в МГУ очень много математических курсов, в частности, он несколько раз читал тот, который потом исчез из математического образования (частично растворившись в других курсах), — он назывался «Высшая геометрия». Вспоминая свою юность, Колмогоров признался, что в школьные годы его очень заинтересовала проективная геометрия (ПГ). Будучи студентом, прослушал курс ПГ, который «старомодно, но подлинно талантливо читал Алексей Константинович Власов»ПГ с той поры сделалась одним из самых стойких его пристрастий. В 1932 г. он опубликовал замечательную работу «Об обосновании ПГ».  

Читать далее