Встретил на математическом сайте «Математика по-русски ЖЖ» <МатемЖЖ > интересную задачу с красивым решением (см. пост от 26.01.16). Там говорится:
МОЖНО ЛИ РАЗРЕЗАТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК НА ПЯТЬ РАВНЫХ ЧАСТЕЙ (ПУСТЬ И НЕСВЯЗНЫХ) ?
Естественно считать, что нет (ибо чего у правильного треугольника пять?), но неожиданно оказалось, что можно.
И приводится решение. Его автор — МИХАИЛ ПАТРАКЕЕВ из Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург):
Я стал размышлять, а нельзя ли аналогично разбить треугольник, скажем, на семь частей? И заметил любопытный (очевидный) факт: если мы делим каждую из сторон треугольника на N частей и через эти точки проводим прямые, параллельные его сторонам, то наш треугольник разбивается на множество маленьких треугольничков, и общее их количество будет N в квадрате. В самом деле, начинаем их считать, начиная с вершины пирамиды: 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2N — 1), то есть имеем сумму первых N нечётных чисел, а она, как известно, равна N2.
Но ведь разбиение квадрата при делении его сторон на N частей и проведению через них прямых (параллельно сторонам) приводит к его разбиению на N2 маленьких квадратиков. Получается, что в этом отношении треугольники и квадраты ведут себя одинаково. И значит, любую квадратную таблицу (матрицу) можно легко представить в треугольной форме.
Далее, меня заинтересовало: а как будет в трёхмерном случае? То есть берём (правильную) треугольную пирамиду, каждое её ребро делим на N частей и через эти точки проводим плоскости, параллельные граням пирамиды. Вопрос: на сколько кусочков разобьётся исходная пирамида? Будет ли их число, по аналогии с разбиением куба, равно N в кубе?
Возможно, в школьные годы я бы сам справился с этой задачей, но сейчас нет. Поэтому я вынес этот вопрос на указанный математический сайт (пост от 22.01.17).
ДОБАВЛЕНИЕ от 19.02.17.
Оказывается, эта задача была в прошлом году на математическом конкурсе ЮУрГУ:
https://vk.com/doc-6779920_437225723 (задача 244).
Присланные решения здесь: https://vk.com/topic-6779920_32636568
Правильный ответ: (n2+1)*n/2.